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| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Integrale:
a) [mm] \integral_{|z|=1}{\bruch{sin(z)}{z^{2}} dz}
[/mm]
b) [mm] \integral_{|z|=1}{\bruch{sin(z)-z}{z^{4}} dz}
[/mm]
c) [mm] \integral_{|z|=1}{\bruch{cos(z)}{z} dz}
[/mm]
d) [mm] \integral_{|z|=1}{\bruch{cos(z)-1}{z^{3}} dz}
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie die Reihendarstellung von sin bzw. cos. |
Hallo zusammen,
ich bin mir bei der Aufgabe unsicher, was das Ausrechnen der Integrale betrifft, und inwiefern ich die Reihendarstellungen benutzen soll. Wäre daher cool, wenn ihr mir bei da beispielshaft helfen könntet:
a) Also als Parametrisierung habe ich [mm] \gamma=e^{it} [/mm] gewählt. Der Integrationsbereich: [mm] [0,2\pi]
[/mm]
[mm] \integral_{|z|=1}{\bruch{sin(z)}{z^{2}} dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{sin(z)}{z^{2}} dz}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{sin(e^{it})}{(e^{it})^{2}}*ie^{it} dz}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{isin(e^{it})}{e^{it}} dz}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Brauche ich jetzt die Reihendarstellung oder wie geht es hier weiter?
Würde ich Substitution anwenden, dann wäre f(x)=sin(), [mm] g(x)=e^{it}, g´(x)=ie^{it}
[/mm]
D.h: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{isin(e^{it})}{e^{it}} dz}=\bruch{1}{ie^{it}}*\integral_{1}^{e^{i2\pi}}{sin(z) dz}
[/mm]
So richtig? Oder wei weiter? Es wäre cool, wenn ihr mir helfen könntet.
Beste Grüße
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Weil Potenzreihen gliedweise integriert werden dürfen, kann man so rechnen:
[mm]\int_{|z|=1} \frac{\sin z}{z^2}~\mathrm{d}z = \int_{|z|=1} \left( \frac{1}{z} - \frac{z}{6} + \frac{z^3}{120} \mp \ldots \right)~\mathrm{d}z = \int_{|z|=1} \frac{1}{z}~\mathrm{d}z[/mm]
Warum verschwinden die anderen Summanden?
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Hallo Leopold,
vielen Dank für deine Antwort. Gliedweise Integration besagt doch der Satz von Stoke oder?
Die anderen Glieder fallen weg, da sie gegen 0 konvergieren (wenn ich benutze: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\gamma}{\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\limes_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\alpha})?
[/mm]
Und jetzt kann ich meine oben benutze Parametrisierung benutzen?
Beste Grüße
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Hallo Rubstudent88,
> Hallo Leopold,
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> vielen Dank für deine Antwort. Gliedweise Integration
> besagt doch der Satz von Stoke oder?
>
> Die anderen Glieder fallen weg, da sie gegen 0 konvergieren
Naja, wenn du gliedweise integrierst, so sind doch alle Summanden ab dem zweiten holomorph auf ganz [mm]\IC[/mm]
Was sagt M. Cauchy dazu?
Der erste Summand [mm]\frac{1}{z}[/mm] hat in [mm]\{|z|<1\}[/mm] in [mm]z_0=0[/mm] eine Singularität.
Nimm deine Parametrisierung und rechne aus [mm]\int\limits_{\gamma}{\frac{1}{z} \ dz}=\int\limits_{0}^{2\pi}{\frac{1}{\gamma(t)}\cdot{}\gamma'(t) \ dt}[/mm]
> (wenn ich benutze:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\gamma}{\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\limes_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\alpha})?[/mm]
>
> Und jetzt kann ich meine oben benutze Parametrisierung
> benutzen?
Ja, beachte [mm]\gamma:[0,2\pi]\to\IC, t\mapsto e^{it}[/mm]
>
> Beste Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Nie vergessen:
1. $ [mm] \int_{|z|=1} \frac{1}{z}~\mathrm{d}z [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i$
2. [mm] $\int_{|z|=1} \frac{1}{z^n}~\mathrm{d}z [/mm] =0$ für n [mm] \ge [/mm] 2, denn in diesem Fall hat die Fkt. [mm] \frac{1}{z^n} [/mm] eine Stammfunktion auf $ [mm] \IC \setminus \{0\}$
[/mm]
FRED
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Super, ihr habt mir echt geholfen, vielen Dank!
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